কেলি মাপকাঠি আৰু ৰুলেট
কেলি মাপকাঠিয়ে সুবিধা থকা এজন বাজী ধৰোঁতাক কয় কিমান বাজী ধৰিব লাগে। ৰুলেটৰ বাবে ই এটা স্পষ্ট উত্তৰ দিয়ে: একো নহয়।
কেলি বাজী = সুবিধা / অনুপাত। সুবিধা ঋণাত্মক হ’লে সূত্ৰটোৱে এটা ঋণাত্মক অংশ দিয়ে, যাৰ অৰ্থ বাজী নধৰিব। তথাপি পক্ষপাতৰ খেলুৱৈসকলে কিয় সেইদৰে বাজীৰ আকাৰ ঠিক কৰিছিল, আৰু আন সকলোৱে কিয় বাজেট অনুসৰি আকাৰ ঠিক কৰিব লাগে, সেয়া বুজিবলৈ মাপকাঠিটো কামৰ।
মাপকাঠিটো
জন কেলিয়ে (John Kelly, 1956) সুধিছিল, জনা সুবিধা থকা এজন জুৱাৰীয়ে পুঁজিৰধনপুঁজিখেলৰ বাবে আঁতৰাই ৰখা মুঠ ধন। পুঁজি ব্যৱস্থাপনা মানে প্ৰতিটো বাজী আৰু প্ৰতিটো ছেছনত তাৰ কিমানখিনি বিপদত পেলাব সেয়া স্থিৰ কৰা।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → দীঘলীয়া সময়ৰ বৃদ্ধি সৰ্বাধিক কৰিবলৈ বাজীৰ আকাৰ কেনেকৈ ঠিক কৰিব লাগে। যি বাজীয়ে b:1 দিয়ে, জিকাৰ সম্ভাৱনাগণিতসম্ভাৱনাএটা পৰিণামৰ সম্ভাৱনা, 0ৰ পৰা 1 বা 0%ৰ পৰা 100%লৈ। এটা সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → p আৰু হৰাৰ সম্ভাৱনা q = 1 − p, তাৰ বাবে উত্তৰ হ’ল পুঁজিৰ f* = (bp − q) / b অংশ বাজীত লগোৱা। f* ধনাত্মক হ’লে সেই অংশ বাজী ধৰক; শূন্য বা ঋণাত্মক হ’লে বাজী নধৰিব। কেলিয়ে Bell Labs-ত কাম কৰিছিল, আৰু তেওঁৰ গৱেষণা পত্ৰ “A new interpretation of information rate”এ সমস্যাটোক ক্লড শেননৰ (Claude Shannon) তথ্য তত্ত্বত স্থাপন কৰিছিল: বিঘিনিযুক্ত লাইনৰ জৰিয়তে ন্যায্য অনুপাতত গোপন খবৰ পোৱা এজন জুৱাৰীয়ে পুঁজি বৃদ্ধি কৰিব পাৰে আটাইতকৈ বেছি সেই হাৰত, যি হাৰত লাইনটোৱে তথ্য কঢ়িয়ায়। 1961ত লিঅ’ ব্ৰেইমেনে (Leo Breiman) প্ৰমাণ কৰিছিল যে কেলি বাজী দীঘলীয়া সময়ত যিকোনো মূলতঃ বেলেগ কৌশলতকৈ আগত থাকে আৰু এটা নিৰ্ধাৰিত লক্ষ্যত প্ৰায় আটাইতকৈ কম সময়ত উপনীত হয়।
ৰুলেটত কেলি বাজী
ৰঙাৰবাজীৰঙা18টা ৰঙা সংখ্যাত সমান পৰিশোধৰ বাজী। ফৰাচীত: rouge।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → বাবে: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37। এটা একক সংখ্যাৰ বাজীৰবাজীএকক সংখ্যাৰ বাজীএটা সংখ্যা, পৰিশোধ 35:1।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → বাবে: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295। প্ৰতিটো মানক বাজীয়ে ঋণাত্মক কেলি অংশ দিয়ে, কাৰণ প্ৰতিটো বাজীৰ সুবিধা ঋণাত্মক, আৰু বৃদ্ধিৰ বাবে অনুকূলতম বাজী শূন্য। ৰুলেটত কেলি বাজী হৈছে কেচিনোৰ সুবিধাৰ পৃষ্ঠাই যি কয় তাকে কোৱাৰ আনুষ্ঠানিক উপায়: এনে কোনো আকাৰ নাই য’ত ঋণাত্মক প্ৰত্যাশাৰ বাজীয়ে পুঁজি বঢ়ায়।
য’ত কেলি সঁচাকৈয়ে খাটিছিল
পক্ষপাতৰ খেলুৱৈসকলৰ সুবিধা আছিল আৰু বাজীৰ আকাৰৰ সমস্যাও আছিল। জেগাৰ, গাৰ্চিয়া-পেলায়ো পৰিয়াল আৰু ইউডেমনছ দল (Eudaemons) সকলোৱে নিজৰ জোখা সুবিধাৰ ওপৰত কিমান বাজী ধৰিব সেয়া ঠিক কৰিব লাগিছিল, আৰু কম বাজী ধৰিলে সুবিধা অপচয় হয়, বেছি ধৰিলে সুবিধা দেখা দিয়াৰ আগতেই সৰ্বস্বান্ত হোৱাৰ আশংকা থাকে। 30বাৰৰ 1বাৰ ওলোৱা এটা খোপৰসা-সঁজুলিখোপৰোটৰৰ 37টা সংখ্যাযুক্ত কোঠাৰ এটা। আন নাম: slot, cup।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → বাবে কেলিয়ে কয় সেই সংখ্যাত প্ৰতি স্পিনত পুঁজিৰ 0.57%: $10,000 থাকিলে প্ৰতি স্পিনত প্ৰায় $57, প্ৰতি স্পিনত প্ৰায় 0.054%ৰ সাধাৰণ বৃদ্ধি, বা 1,000টা স্পিনত ×1.7। গড় লাভ তাৰ দুগুণ, প্ৰতি স্পিনত 0.11%, কিন্তু কেলিয়ে সাধাৰণ পুঁজিক লক্ষ্য কৰে, গড়টোক নহয়, যাক কেইটামান ভাগ্যৱান ধাৰাই ফুলাই তোলে। সুবিধাৰ অনুমান অনিশ্চিত হোৱাৰ বাবে আধা কেলিয়েই সাধাৰণ ব্যৱহাৰিক বাছনি।
সাধাৰণ আৰু গড়
সাধাৰণ পুঁজি আৰু গড় পুঁজিৰ মাজৰ ব্যৱধান বহল। 25বাৰৰ 1বাৰ ওলোৱা এটা খোপ লওক, 44% সুবিধা, থৰ্পে নিজৰ যন্ত্ৰৰ বাবে দিয়া অংক। কেলিয়ে তাত পুঁজিৰ 1.26% বাজী ধৰে। 1,000টা স্পিনৰ পিছত সাধাৰণ পুঁজি প্ৰায় 11.5 গুণ বাঢ়ে, আনহাতে কেইটামান অতি ভাগ্যৱান ধাৰাই ওপৰলৈ টনা গড়টো প্ৰায় 249 গুণ বাঢ়ে। কেলিতকৈ বেছি বাজী ধৰিলে গড় বাঢ়ে আৰু সাধাৰণ ফলাফল কমে: কেলি বাজীৰ দুগুণত সাধাৰণ পুঁজি কেৱল দুগুণ হয়, আৰু কেলি বাজীৰ আঢ়ৈ গুণত ই সংকুচিত হয়, যদিও প্ৰতিটো বাজীত তেতিয়াও 44% সুবিধা থাকে। কম বাজী ধৰাৰ খৰচ সামান্য: আধা বাজীয়ে বৃদ্ধিৰ প্ৰায় তিনি চতুৰ্থাংশ ৰাখে।
যেতিয়া সুবিধাটো অনুমান মাত্ৰ
কেলিয়ে ধৰি লয় যে সুবিধাটো জনা। টেবুলত ইয়াক অনুমান কৰা হয়, আৰু অনুমানটো সাধাৰণতে অতি বেছি। থৰ্পৰ 44%ৰ ওপৰত গঢ়া Epstein-ৰ উদাহৰণটো হ’ল দুটা শূন্যচকাশূন্যসেই একক সেউজীয়া খোপ, যাক কোনো সমান পৰিশোধৰ, ডজনৰ বা স্তম্ভৰ বাজীয়ে নাসামৰে; কেচিনোৰ সুবিধাৰ উৎস। আন নাম: এটা শূন্য, 0।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → থকা চকাৰ 1,225টা স্পিনত 49বাৰ ওলোৱা এটা সংখ্যা: 25বাৰৰ 1বাৰ, 44% সুবিধা, 1.26% কেলি বাজী। কিন্তু দুটা শূন্যৰ নিৰপেক্ষ চকাত 38টা সংখ্যা থাকে, আৰু তাৰে আটাইতকৈ ব্যস্তটো 1,225টা স্পিনত প্ৰায় ন বাৰৰ এবাৰ 49 বা তাতকৈ বেছিবাৰ ওলায়। যিকোনো অভিলেখৰ আটাইতকৈ ব্যস্ত সংখ্যাটোক ভাগ্যইও আটাইতকৈ বেছি সহায় কৰিছে, গতিকে প্ৰকৃততে পক্ষপাতদুষ্ট খোপো অভিলেখত আচলতকৈ ভাল দেখায়: বিজয়ীৰ অভিশাপ। যদি সেই খোপটো আচলতে পক্ষপাতহীন, তেন্তে কেলি বাজীটো কেৱল এটা বাজী যিয়ে গড় হিচাপে 5.26% হেৰুৱায়। সাধাৰণ উত্তৰ হ’ল কেলিৰ এটা অংশহে বাজী ধৰা আৰু সুবিধাটো এটা নতুন অভিলেখত টিকি নথকালৈকে গণি থকা (ৰুলেট চকাৰ পক্ষপাত কেনেকৈ ধৰিব চাওক)।
সুবিধা থকা মানুহ
সুবিধাটো জনা আৰু তাক ভালদৰে ব্যৱহাৰ কৰা একে কথা নহয়। Haghani আৰু Dewey (2016)য়ে 61 জন মানুহক প্ৰত্যেককে $25 দি আধা ঘণ্টা এটা মুদ্ৰাত বাজী ধৰিবলৈ দিছিল, যিটো 60% সময়ত মূৰ পৰে বুলি তেওঁলোকক কোৱা হৈছিল, জিকা ধনৰ সীমা $250 (সীমাটোৰ কথা খেলুৱৈসকলে তাত উপনীত হোৱাৰ পিছতহে জানিছিল)। কেলিয়ে কয় প্ৰতিবাৰ মূৰত পুঁজিৰ 20% বাজী ধৰক, আৰু লেখকসকলৰ অনুমান যে 10–20%ৰ নিয়মীয়া বাজীয়ে প্ৰায় 95% সময়ত সীমাত উপনীত হ’লহেঁতেন। মাত্ৰ 21% খেলুৱৈ তাত উপনীত হৈছিল। 28% সৰ্বস্বান্ত হৈছিল, 61 জনৰ 18 জনে এটা টছতে সকলো বাজীত লগাইছিল, প্ৰায় এক তৃতীয়াংশই আৰম্ভ কৰা $25তকৈ কমত শেষ কৰিছিল, আৰু গড় পৰিশোধধনপৰিশোধজিকা বাজীয়ে যি দিয়ে, ঘূৰি অহা বাজীৰ ধনৰ ওপৰি “X:1” হিচাপে কোৱা হয়।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → আছিল $91। 61 জনৰ মাত্ৰ পাঁচজনে কেলি মাপকাঠিৰ কথা শুনিছিল। সুবিধা থাকিলে বাজীৰ আকাৰে নিৰ্ধাৰণ কৰে আপুনি সেয়া ৰাখিব পাৰে নে নাই; সুবিধা নাথাকিলে, নিৰপেক্ষ চকাৰ দৰে, কোনো আকাৰেই সহায় নকৰে।
ইয়াৰ সলনি কি ব্যৱহাৰ কৰিব
সুবিধা নাথাকিলে বাজীৰ আকাৰ বাজেটৰ প্ৰশ্ন, বৃদ্ধিৰ প্ৰশ্ন নহয়: বাজীৰ ধন = প্ৰতি স্পিনত আপুনি খৰচ কৰিবলৈ ইচ্ছুক যিমান, প্ৰতি ঘণ্টাৰ বাজেট আৰু টেবুলৰ গতিৰ পৰা উলিওৱা (পুঁজি ব্যৱস্থাপনাৰ পৃষ্ঠা)। সাধাৰণ খেলুৱৈৰ বাবে কেলিৰ অৱদান হৈছে ইয়াৰ উত্তৰৰ স্পষ্টতা: শূন্য। শূন্যৰ ওপৰত আপুনি লগোৱা সকলো ধন খেলাৰ দাম, আপুনি নিজে বাছনি কৰা, কোনো সূত্ৰই অনুকূলতম কৰা নহয়।
আংশিক কেলি আৰু “ধন ব্যৱস্থাপনা”ৰ বিষয়ে এটা টোকা
“ৰুলেটৰ বাবে কেলি” বুলি বিক্ৰী কৰা যিবোৰ পদ্ধতিয়ে প্ৰতি বাজীত পুঁজিৰ এটা স্থিৰ শতাংশ পৰামৰ্শ দিয়ে, সেইবোৰ সংকুচিত হৈ যোৱা বাজীৰ ধনৰ সৈতে স্থিৰ বাজীকৌশলস্থিৰ বাজীপ্ৰতিটো স্পিনত একে পৰিমাণৰ বাজী। প্ৰতিটো প্ৰগ্ৰেছনক ইয়াৰ সৈতে তুলনা কৰা হয়।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক →। সেইবোৰে মুঠ বাজীৰ পৰিমাণৰধনমুঠ বাজীৰ পৰিমাণএটা ছেছন বা সময়ছোৱাত বাজী ধৰা মুঠ ধন, পুনৰ বাজী ধৰা জিকা ধনকে ধৰি। আন নাম: handle, action।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → 2.70% হেৰুৱায়, আৰু হেৰুওৱাৰ লগে লগে বাজীৰ ধন সংকুচিত হোৱাৰ বাবে সৰ্বনাশক অসম্ভাৱ্য নকৰে, লাহে লাহেহে কৰে। বাজেট দীঘলীয়া কৰাৰ ই এটা যুক্তিসংগত উপায়; ই কেলি নহয়, কাৰণ কেলিয়ে ৰৈ যাবলৈ ক’লেহেঁতেন।
সূত্ৰ
প্ৰশ্ন
কেৱল পক্ষপাতদুষ্ট চকাগৱেষণাগাৰপক্ষপাতদুষ্ট চকাযি চকাৰ ভৌতিক ত্ৰুটিৰ বাবে কিছুমান খোপৰ সম্ভাৱনা 1/37তকৈ বেছি হয়। বিৰল, আৰু হাজাৰ হাজাৰ লিপিবদ্ধ স্পিনৰ সহায়তহে ধৰিব পাৰি।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → বা সময় জোখা যন্ত্ৰৰ পৰা জোখা সুবিধা থাকিলেহে। নিৰপেক্ষ চকাত নহয়।
কাৰণ সুবিধাৰ অনুমানত ত্ৰুটি থাকে, আৰু বেছি বাজী ধৰাটো কম বাজী ধৰাতকৈ বেছি খৰচী। আধা কেলিয়ে এক চতুৰ্থাংশ ভেৰিয়েন্সতগণিতভেৰিয়েন্সপ্ৰত্যাশিত মানৰ চাৰিওফালে ফলাফল কিমান বহলকৈ সিঁচৰতি হয় তাৰ জোখ। একক সংখ্যাৰ বাজীত বেছি, সমান পৰিশোধৰ বাজীত কম।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → তিনি চতুৰ্থাংশ বৃদ্ধি দিয়ে।
নহয়। সুবিধা থাকিলে কেলিয়ে বৃদ্ধি অনুকূলতম কৰে। সুবিধা নাথাকিলে পুঁজি ব্যৱস্থাপনাই খৰচ নিয়ন্ত্ৰণ কৰে।
গণিতৰ আমোদ
প্ৰথমে নিজে চেষ্টা কৰক। প্ৰতিটো সমাধান জাপ খুৱাই ৰখা আছে; সাজু হ’লে খোলক।
থৰ্প আৰু শেননৰ ভৱিষ্যদ্বাণীৰ যন্ত্ৰই প্ৰায় 44% সুবিধা দিছিল। ভৱিষ্যদ্বাণী কৰা এটা সংখ্যাত কেলিয়ে পুঁজিৰধনপুঁজিখেলৰ বাবে আঁতৰাই ৰখা মুঠ ধন। পুঁজি ব্যৱস্থাপনা মানে প্ৰতিটো বাজী আৰু প্ৰতিটো ছেছনত তাৰ কিমানখিনি বিপদত পেলাব সেয়া স্থিৰ কৰা।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → 1.26% বাজী ধৰিবলৈ কয়। যদি একে 44% সুবিধা পাঁচটা কাষৰ সংখ্যাত বিলাই দিয়া এটা বাজীত আহিলহেঁতেন তেন্তে কি হ’লহেঁতেন?
সমাধান চাওক
উত্তৰ তেতিয়া কেলিয়ে পুঁজিৰ 7.1% কয়, আৰু পুঁজি প্ৰায় ছগুণ বেগেৰে বাঢ়ে: 1,000টা বাজীত প্ৰায় 1.25 নিযুত গুণ, প্ৰায় 11.5 গুণৰ বিপৰীতে।
44% সুবিধাৰ এটা একক সংখ্যাৰ বাজীবাজীএকক সংখ্যাৰ বাজীএটা সংখ্যা, পৰিশোধ 35:1।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → 0.04 সম্ভাৱনাৰে জিকে, কাৰণ 36 × 0.04 = 1.44। কেলিৰ বাজীৰ ধন হ’ল সুবিধাক পৰিশোধৰ অনুপাতেৰে হৰণ: 0.44/35 = 1.26%। প্ৰতিটো বাজীত সাধাৰণ বৃদ্ধি 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244, গতিকে 1,000টা বাজীয়ে পুঁজিক প্ৰায় e^2.44 ≈ 11.5 গুণ কৰে।
এটা বাজীৰ ধন পাঁচটা সংখ্যাত বিলাই দিলে বাজীটো 0.20 সম্ভাৱনাৰে জিকে আৰু 1ৰ বিনিময়ত 36/5 পৰিশোধ কৰে, অৰ্থাৎ 6.2:1: তথাপি 44% সুবিধা, কাৰণ 0.2 × 7.2 = 1.44। কেলিৰ বাজীৰ ধন 0.44/6.2 = 7.10% হয়, আৰু প্ৰতিটো বাজীত বৃদ্ধি 0.01404, প্ৰায় 5.75 গুণ বেছি। 1,000টা বাজীত সেয়া e^14.04, প্ৰায় 1.25 নিযুত।
সুবিধা একে; উঠা-নমা কম। পাঁচবাৰৰ ভিতৰত এবাৰ জিকা বাজীয়ে সৰ্বস্বান্তৰ আশংকা নোলোৱাকৈ পুঁজিৰ ডাঙৰ অংশ ল’ব পাৰে, আৰু কেলিৰ বৃদ্ধিয়ে তাৰ পুৰস্কাৰ দিয়ে। থৰ্পে (1984) এই উদাহৰণেৰে দেখুৱাইছে কিয় ভৱিষ্যদ্বাণীৰ খেলুৱৈসকলে খণ্ডতচকাখণ্ডচকাত একেলগে থকা খোপৰ এটা অবিচ্ছিন্ন চাপ, বাজীৰ নক্সাৰ কোনো গোটৰ পৰা পৃথক।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → বাজী ধৰে। বাস্তৱত পাঁচটা চুবুৰীয়াৰবাজীচুবুৰীয়াচকাত এটা সংখ্যা আৰু তাৰ দুয়োফালৰ দুটাকৈ খোপ, পাঁচটা একক সংখ্যাৰ বাজীৰ চিপ।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → সুবিধা আটাইতকৈ ভাল একক সংখ্যাটোতকৈ অলপ কম (“ৰুলেটত সুবিধা লাভৰ খেল” চাওক)।
এজন খেলুৱৈয়ে দুটা কাষৰ খোপসা-সঁজুলিখোপৰোটৰৰ 37টা সংখ্যাযুক্ত কোঠাৰ এটা। আন নাম: slot, cup।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → বিচাৰি পাইছে যাৰ প্ৰতিটো 37বাৰৰ ভিতৰত 1বাৰৰ সলনি 25বাৰৰ ভিতৰত 1বাৰ উঠে। তেওঁ সিহঁতৰ মাজৰ যোৰা বাজীবাজীযোৰা বাজীকাষাকাষি দুটা সংখ্যা, পৰিশোধ 17:1।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → 17:1-ত ধৰিব নে প্ৰতিটো সংখ্যাত একক সংখ্যাৰ বাজী? কেলিয়ে কিমান কয়, আৰু তেনে এটা খোপৰ তুলনাত পুঁজি কিমান বেগেৰে বাঢ়ে?
সমাধান চাওক
উত্তৰ কোনো পাৰ্থক্য নাই: যোৰা বাজীত পুঁজিৰ 2.59%, বা প্ৰতিটো সংখ্যাত 1.29%। 1,000টা স্পিনত সাধাৰণ পুঁজি প্ৰায় 155 গুণ বাঢ়ে, এটা খোপৰে 11.5 গুণৰ বিপৰীতে।
যোৰা বাজীটো 2/25 = 0.08 সম্ভাৱনাৰেগণিতসম্ভাৱনাএটা পৰিণামৰ সম্ভাৱনা, 0ৰ পৰা 1 বা 0%ৰ পৰা 100%লৈ। এটা সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → জিকে আৰু 17:1 পৰিশোধ কৰে, গতিকে ই বাজী ধৰা প্ৰতি এককতধনএককএটা পদ্ধতি বা খেলুৱৈয়ে যি মূল বাজীৰ ধনৰ হিচাপত কাম কৰে। প্ৰগ্ৰেছনবোৰ এককত বৰ্ণনা কৰা হয় যাতে সেইবোৰ যিকোনো টেবুলত খাটে।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → 18 × 0.08 = 1.44 ঘূৰাই দিয়ে: 44% সুবিধা, এটা পক্ষপাতদুষ্ট খোপৰ সমান। কেলিৰ বাজীৰ ধন হ’ল সুবিধাক পৰিশোধৰ অনুপাতেৰে হৰণ: 0.44/17 = 2.59%।
1.29%ৰ দুটা একক সংখ্যাৰ বাজীয়ে ঠিক একে ফলাফল দিয়ে। যিকোনো এটা সংখ্যা উঠিলে এটা চিপেধনচিপনিৰ্দিষ্ট পৰিমাণৰ ধন বুজোৱা টোকেন, বাজী ধৰিবলৈ বাজীৰ নক্সাত ৰখা হয়। আন নাম: check।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → 35:1 জিকে আৰু আনটো হেৰায়, নিট পুঁজিৰ 34 × 1.29% = 44%, যোৰা বাজীয়ে দিয়াৰ দৰেই; কোনোটো নুঠিলে দুয়োটা হেৰায়।
প্ৰতিটো স্পিনত বৃদ্ধি 0.00505, এটা খোপৰ 0.00244ৰ বিপৰীতে, গতিকে 1,000টা স্পিনত সাধাৰণ পুঁজি e^2.44 ≈ 11.5 গুণৰ সলনি e^5.046 ≈ 155 গুণ বাঢ়ে। দুটা ভাল সংখ্যাৰ মূল্য এটাৰ দুগুণতকৈ বহুত বেছি, সেইবাবেই পক্ষপাতৰ খেলুৱৈসকলে সংখ্যাৰ গোটত বাজী ধৰে। থৰ্পে (1984) একে তুলনা কৰিছে।
অলপ হাঁহি
বৃদ্ধিৰ বাবে অনুকূলতম ৰুলেট বাজী এনে এটা সংখ্যা যি সকলোৱে আগৰে পৰা জানে।
উৎস
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”