সমস্যা: টেবুলৰ সীমা
$500ৰ টেবুলত $10ৰ মাৰ্টিংগেল। ই কিমান সঘনাই ভাঙে, ভাঙিলে কিমান হেৰুৱায়, আৰু সীমা বঢ়ালে সহায় হয়নে?
একেৰাহে ছটা হাৰে ইয়াক ভাঙে: প্ৰতি চক্ৰত 1.8%, 100টা স্পিনৰ ছেছনৰ প্ৰায় 60%। ভাঙোনৰ খৰচ $630। সীমা $5,000লৈ বঢ়ালে ভাঙোন বিৰল হয় (প্ৰতি চক্ৰত 0.25%) আৰু ডাঙৰ হয় ($5,110)। যিকোনো সীমাতে বাজী ধৰা প্ৰতি ডলাৰত প্ৰত্যাশিত লোকচান 2.70%।
সমস্যাটো
এজন খেলুৱৈয়ে ৰঙাতবাজীৰঙা18টা ৰঙা সংখ্যাত সমান পৰিশোধৰ বাজী। ফৰাচীত: rouge।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → $10 বাজী ধৰে আৰু প্ৰতিটো হাৰৰ পিছত দুগুণ কৰে, জয়ৰ পিছত পুনৰ আৰম্ভ কৰে। টেবুলৰ সৰ্বোচ্চ $500। (a) একেৰাহে কিমানটা হাৰে প্ৰগ্ৰেছনটোকৌশলপ্ৰগ্ৰেছনআগৰ ফলাফলৰ ভিত্তিত বাজীৰ ধন সলনি কৰা যিকোনো নিয়ম। ঋণাত্মক প্ৰগ্ৰেছনে হাৰৰ পিছত বাজী বঢ়ায়, ধনাত্মকে জয়ৰ পিছত।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → ভাঙে? (b) প্ৰতি চক্ৰত সম্ভাৱনাগণিতসম্ভাৱনাএটা পৰিণামৰ সম্ভাৱনা, 0ৰ পৰা 1 বা 0%ৰ পৰা 100%লৈ। এটা সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → কিমান? (c) ভাঙোনত কিমান হেৰায়? (d) $5,000ৰ সীমাই উত্তৰবোৰ কেনেকৈ সলনি কৰে? (e) কোনো সীমাই পদ্ধতিটোক লাভজনক কৰেনে?
সমাধান (a)–(c)
বাজীৰ ধন: 10, 20, 40, 80, 160, 320। সপ্তমটো হ’ব 640 > 500, গতিকে ছটা হাৰে ইয়াক ভাঙে। (b) ৰঙাত p(হাৰ) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, প্ৰতি চক্ৰত প্ৰায় 1.8%। এটা চক্ৰ গড় হিচাপে প্ৰায় দুটা স্পিন চলে, গতিকে 100টা স্পিনৰ ছেছনত মোটামুটি 50টা চক্ৰ থাকে আৰু p(অন্ততঃ এটা ভাঙোন) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%। (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, অৰ্থাৎ 63টা মূল এককধনএককএটা পদ্ধতি বা খেলুৱৈয়ে যি মূল বাজীৰ ধনৰ হিচাপত কাম কৰে। প্ৰগ্ৰেছনবোৰ এককত বৰ্ণনা কৰা হয় যাতে সেইবোৰ যিকোনো টেবুলত খাটে।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক →, চক্ৰটোৱে জিকিবলৈ চেষ্টা কৰা $10ৰ বিপৰীতে।
সমাধান (d)
$5,000ত: 2,560লৈকে বাজীৰ ধন অনুমোদিত; দশম বাজী, 5,120, নাকচ কৰা হয়। নটা হাৰে ইয়াক ভাঙে: প্ৰতি চক্ৰত (19/37)⁹ ≈ 0.25%, 100টা স্পিনৰ ছেছনৰ প্ৰায় 11%। ভাঙোনত লোকচান: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110। খেলুৱৈজনে এটা ডাঙৰ বিপৰ্যয়ৰ দামত এটা বিৰল বিপৰ্যয় কিনিছে। বহুতো ছেছনত ভাঙোনৰ প্ৰত্যাশিত খৰচ p × লোকচান ≈ $500 সীমাত প্ৰতি চক্ৰত 0.0183 × 630 = $11.5 আৰু $5,000ত 0.0025 × 5,110 = $12.8; গোলাকাৰ কৰাৰ ত্ৰুটিৰ ভিতৰত ই একেটা সংখ্যা, আৰু ই চক্ৰটোৰ প্ৰত্যাশিত লোকচানগণিতপ্ৰত্যাশিত লোকচানপ্ৰত্যাশিত মানক মুঠ বাজী ধৰা ধনেৰে পূৰণ কৰা ফল; এটা ছেছন বা এটা সময়ছোৱাত গড় হিচাপে হেৰুওৱা ধন।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → যোগ জিকা চক্ৰবোৰে আৰ্জা $10।
সমাধান (e)
নকৰে। প্ৰতি চক্ৰত প্ৰত্যাশিত লোকচান = (চক্ৰটোত প্ৰত্যাশিত মুঠ বাজীৰ ধন) / 37, যিকোনো সীমাত, কাৰণ প্ৰতিটো বাজী নিজৰ −1/37। সীমাই কেৱল নিৰ্ধাৰণ কৰে লোকচানটো বহুতো সৰু জয় আৰু কেইটামান ডাঙৰ লোকচানৰ মাজত কেনেকৈ ভাগ হয়। সীমা আৰু অসীম পুঁজিধনপুঁজিখেলৰ বাবে আঁতৰাই ৰখা মুঠ ধন। পুঁজি ব্যৱস্থাপনা মানে প্ৰতিটো বাজী আৰু প্ৰতিটো ছেছনত তাৰ কিমানখিনি বিপদত পেলাব সেয়া স্থিৰ কৰা।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → নাথাকিলে প্ৰগ্ৰেছনটোৱে “কাম কৰিলেহেঁতেন”, এই অৰ্থত যে ই কেতিয়াও নাভাঙিলেহেঁতেন, আৰু ই এটা সীমাহীন পৰিমাণো বাজীত লগালেহেঁতেন, সেই সীমাহীন পৰিমাণৰ 2.70% প্ৰত্যাশিত লোকচানৰ সৈতে। মাৰ্টিংগেলককৌশলমাৰ্টিংগেলপ্ৰতিটো হাৰৰ পিছত বাজী দুগুণ কৰা প্ৰগ্ৰেছন। ই কি কৰে আৰু কি নকৰে, কৌশল শাখাত চাওক।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → কাম কৰাত বাধা দিয়া বস্তুটো টেবুলৰ সীমাটেবুলটেবুলৰ সীমাঅনুমোদিত নিম্নতম আৰু সৰ্বোচ্চ বাজী। সৰ্বোচ্চ সীমায়েই দুগুণ কৰা প্ৰগ্ৰেছনক ৰোধ কৰে।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → নহয়। অংকহে।
দুখন প্ৰকৃত টেবুল
থৰ্পৰ উদাহৰণ হৈছে $1,000 সৰ্বোচ্চ থকা $1ৰ টেবুল, য’ত খেলুৱৈ এজনে এডলাৰকৈ ৰাতিৰ আহাৰৰ বাবে $30 জিকাৰ আশা কৰে। 1, 2, 4 … 512 বাজীৰ ধনে দহটা বাজীৰ অনুমতি দিয়ে, গতিকে একেৰাহে দহটা হাৰে প্ৰগ্ৰেছনটো ভাঙে: ইউৰোপীয় চকাত 785টা চক্ৰত এবাৰ (আমেৰিকান চকাত 613টাত এবাৰ), $1,023 খৰচত। ত্ৰিশটা চক্ৰ সকলো সফল হোৱাৰ সম্ভাৱনা 96.2%। বাকী 3.8%ত প্ৰায় $1,000 হেৰায়, আৰু সন্ধিয়াটোৰ গড় ফলাফল −$9.17, যিটো ঠিক ত্ৰিশটা চক্ৰই গড় হিচাপে লগোৱা $339ৰ 1/37। $2,000 সৰ্বোচ্চ থকা $5ৰ টেবুলো একেই: $1,280লৈকে বাজীৰ ধনে নটা বাজীৰ অনুমতি দিয়ে, আৰু ভাঙোন ইউৰোপীয় চকাত 403টা চক্ৰত এবাৰ (আমেৰিকান চকাত 323টাত এবাৰ) আহে আৰু খৰচ $2,555।
এজন ধনী খেলুৱৈ
প্ৰগ্ৰেছনটোক কম সীমাৰ সলনি গভীৰ পুঁজি দিয়ক: 1,000 একক, এক এককৰ মূল বাজী আৰু ৰঙাত 1,000টা স্পিন, যেতিয়াই পৰৱৰ্তী দুগুণ বাকী থকা ধনতকৈ বেছি হয় তেতিয়াই পুনৰ এক এককৰ পৰা আৰম্ভ কৰি। আমি এনে দহ লাখ সন্ধিয়াৰ ছিমুলেচন কৰিছিলোঁ। ইউৰোপীয় চকাত 52% লাভত শেষ হয়, 21%য়ে সকলো হেৰুৱায়, আৰু গড় ফলাফল −124 একক। শূন্যচকাশূন্যসেই একক সেউজীয়া খোপ, যাক কোনো সমান পৰিশোধৰ, ডজনৰ বা স্তম্ভৰ বাজীয়ে নাসামৰে; কেচিনোৰ সুবিধাৰ উৎস। আন নাম: এটা শূন্য, 0।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → নথকা খেলতো, য’ত প্ৰতিটো বাজী ন্যায্য, মাত্ৰ প্ৰায় 60% লাভত শেষ হ’লহেঁতেন। সাধাৰণ সন্ধিয়া এটা সৰু জয়; গড়টোৰ দাম শূন্যত শেষ হোৱা সন্ধিয়াবোৰে দিয়ে।
শিক্ষাটো
কেচিনোৱে নিজৰ ভেৰিয়েন্সগণিতভেৰিয়েন্সপ্ৰত্যাশিত মানৰ চাৰিওফালে ফলাফল কিমান বহলকৈ সিঁচৰতি হয় তাৰ জোখ। একক সংখ্যাৰ বাজীত বেছি, সমান পৰিশোধৰ বাজীত কম।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → সীমিত কৰিবলৈ সীমা নিৰ্ধাৰণ কৰে, পদ্ধতিক হৰুৱাবলৈ নহয়। মাৰ্টিংগেলক হৰুওৱাটো এটা পাৰ্শ্বফল যাক তেওঁলোকে সানন্দে গ্ৰহণ কৰে, আৰু অংকই যিকোনো প্ৰকাৰে ইয়াক হৰুৱালেহেঁতেন। যি খেলুৱৈয়ে সীমাটোকে সমস্যা বুলি ভাবে, তেওঁ খাদটো বিচাৰি পাইছে আৰু তাকে ঢাল বুলি ভুল কৰিছে।
সূত্ৰ
প্ৰশ্ন
ই আপোনাক এটা উচ্চ সীমালৈকে টিকি থাকিবলৈ দিয়ে, য’ত ভাঙোন বিৰল আৰু ডাঙৰ। প্ৰতি ডলাৰত প্ৰত্যাশিত লোকচান অপৰিৱৰ্তিত।
বাজীৰ ধন 10, 30, 70, 150, 310: পাঁচটা হাৰৰ পিছত $500 সীমা পোৱা যায়, আৰু ভাঙোনৰ খৰচ $570। একেই 2.70%।
যাতে এজন খেলুৱৈয়ে কেচিনোৰ সঞ্চিত ধনে সহজে দিব পৰাতকৈ বেছি বাজী ধৰিব নোৱাৰে। ভেৰিয়েন্স ব্যৱস্থাপনা।
গণিতৰ আমোদ
প্ৰথমে নিজে চেষ্টা কৰক। প্ৰতিটো সমাধান জাপ খুৱাই ৰখা আছে; সাজু হ’লে খোলক।
এটা মাৰ্টিংগেলকৌশলমাৰ্টিংগেলপ্ৰতিটো হাৰৰ পিছত বাজী দুগুণ কৰা প্ৰগ্ৰেছন। ই কি কৰে আৰু কি নকৰে, কৌশল শাখাত চাওক।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → ৰঙাতবাজীৰঙা18টা ৰঙা সংখ্যাত সমান পৰিশোধৰ বাজী। ফৰাচীত: rouge।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → $100ৰে আৰম্ভ হয় আৰু এটা চক্ৰত সৰ্বাধিক nটা বাজী ধৰিবলৈ অনুমতি দিয়ে: একেৰাহে nটা হাৰৰ পিছত ই এৰি দিয়ে আৰু পুনৰ আৰম্ভ কৰে। এটা চক্ৰৰ গড় ফলাফল nৰ এটা সূত্ৰ হিচাপে লিখক, আৰু ইউৰোপীয় চকাত 5, 6 আৰু 7টা বাজীৰ বাবে হিচাপ কৰক।
সমাধান চাওক
উত্তৰ গড় 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5টা বাজীৰ বাবে −$14.26, 6টাৰ বাবে −$17.35 আৰু 7টাৰ বাবে −$20.52। বেছি বাজী অনুমতি দিলে গড় চক্ৰ ভাল নহয়, বেয়াহে হয়।
সকলো nটা বাজী নাহাৰিলে চক্ৰ এটাই $100 জিকে, যিটো qⁿ সম্ভাৱনাৰে হয়, য’ত q = 19/37। যেতিয়া সকলো হাৰে, 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ বাজীৰ ধনবোৰৰ যোগফল 100 × (2ⁿ − 1)। গতিকে গড় 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)।
ইয়াত 2q = 38/37, 1তকৈ অলপ বেছি, গতিকে (2q)ⁿ nৰ সৈতে বাঢ়ে আৰু গড় কমে: n = 5-এ 1.1426 আৰু −$14.26 দিয়ে; n = 6-এ 1.1735 আৰু −$17.35; n = 7-এ 1.2052 আৰু −$20.52। দীঘল জখলাই কম সঘনাই হেৰুৱায়, 3.6%, 1.8% আৰু 0.9% চক্ৰত, কিন্তু প্ৰতিটো লোকচান দুগুণ ডাঙৰ, আৰু প্ৰতিটো চক্ৰত টেবুলৰ ওপৰেৰে বেছি ধন পাৰ হয়, প্ৰতিটো বাজীৰ 2.70%ত।
আমেৰিকান চকাত 2q = 40/38 আৰু সংখ্যাবোৰ −$29.24, −$36.04 আৰু −$43.20 (টেইলৰ, 2021)। শূন্যচকাশূন্যসেই একক সেউজীয়া খোপ, যাক কোনো সমান পৰিশোধৰ, ডজনৰ বা স্তম্ভৰ বাজীয়ে নাসামৰে; কেচিনোৰ সুবিধাৰ উৎস। আন নাম: এটা শূন্য, 0।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → নথকা খেলত 2q = 1, আৰু জখলা যিমানেই দীঘল নহওক, প্ৰতিটো চক্ৰৰ গড় ঠিক শূন্য।
“গ্ৰেণ্ড মাৰ্টিংগেলে” হাৰৰ পিছত বাজীৰ ধন দুগুণ কৰে আৰু এক এককধনএককএটা পদ্ধতি বা খেলুৱৈয়ে যি মূল বাজীৰ ধনৰ হিচাপত কাম কৰে। প্ৰগ্ৰেছনবোৰ এককত বৰ্ণনা কৰা হয় যাতে সেইবোৰ যিকোনো টেবুলত খাটে।সম্পূৰ্ণ পঢ়ক → যোগ কৰে, গতিকে বাজীৰ ধন 1, 3, 7, 15, 31 … হয়। প্ৰথম জয় 1ম, 2য়, 3য় বা kতম বাজীত আহিলে আপুনি কিমান আগত? $10ৰ একক আৰু $500ৰ সৰ্বোচ্চ বাজীত চক্ৰ কিমান সঘনাই ভাঙে, আৰু এটা চক্ৰৰ গড় মূল্য কিমান?
সমাধান চাওক
উত্তৰ kতম বাজীত জয়ে আপোনাক k একক আগত ৰাখে: +1, +2, +3 ইত্যাদি। $10 আৰু $500ত চক্ৰ পাঁচটা হাৰৰ পিছত ভাঙে, 3.57% চক্ৰত, −$570ৰ বাবে। গড় হিচাপে এটা চক্ৰই $85.73 বাজী ধৰি $2.32 হেৰুৱায়: 2.70%।
kতম বাজীৰ ধন 2ᵏ − 1 একক: 1, 3, 7, 15, 31। প্ৰথম k − 1টা বাজীৰ ধনৰ যোগফল 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1। kতম বাজীত জয়ে 2ᵏ − 1 পৰিশোধ কৰে, গতিকে চক্ৰটো (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k একক আগত শেষ হয়: জয়ৰ আগৰ প্ৰতিটো হাৰৰ বাবে এক অতিৰিক্ত একক।
এককত $10 হ’লে বাজীৰ ধন $10, $30, $70, $150 আৰু $310; পৰৱৰ্তীটো, $630, $500ৰ সৰ্বোচ্চতকৈ বেছি। একেৰাহে পাঁচটা হাৰৰ, (19/37)⁵ = 3.57%, মূল্য 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570।
গড়: k = 1ৰ পৰা 5লৈ জয়বোৰে (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 সম্ভাৱনাৰে $10 × k আনে, আৰু ভঙাটোৱে 3.57% সম্ভাৱনাৰে $570 লৈ যায়; একেলগে −$2.32। এটা চক্ৰত বাজী ধৰা ধনৰ গড় $85.73, আৰু 2.32/85.73 = 2.70%। একে টেবুলত সাধাৰণ মাৰ্টিংগেল ছটা হাৰৰ পিছত ভাঙে, 1.83% চক্ৰত, −$630ৰ বাবে, আৰু $64.20 বাজী ধৰি $1.74 হেৰুৱায়: আকৌ 2.70%।
এজন খেলুৱৈয়ে $1,000 সীমাৰ টেবুলত $1ৰ প্ৰথম বাজীৰে ৰঙাত মাৰ্টিংগেলৰ পৰিকল্পনা কৰে, গতিকে দহটা বাজী সম্ভৱ: $1, $2, $4 আৰু এনেকৈ $512লৈকে। এটা চক্ৰই কিমান সঘনাই দহোটা হেৰুৱায়, তাৰ বাবে গড় হিচাপে কিমান সময় লাগে, আৰু 200টা বাজীৰ এটা সন্ধিয়া কিমান সঘনাই এনেদৰে শেষ হয়?
সমাধান চাওক
উত্তৰ এটা চক্ৰই প্ৰায় 784বাৰৰ ভিতৰত এবাৰ দহোটা হেৰুৱায়, যাৰ মূল্য $1,023। তাৰ বাবে গড় হিচাপে প্ৰায় 1,600টা বাজী লাগে, আৰু 200টা বাজীৰ এটা সন্ধিয়া প্ৰায় 11% সময়ত বেৰত খুন্দা খায়। তথাপি এটা চক্ৰই গড় হিচাপে $11.31 বাজী ধৰি $0.31 হেৰুৱায়: 2.70%।
ৰঙাৰ বাজী 19/37 সম্ভাৱনাৰে হাৰে, শূন্যসহ। একেৰাহে দহটা: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, প্ৰায় 784ৰ ভিতৰত 1। 1 + 2 + 4 + … + 512 বাজীৰ ধনৰ যোগফল $1,023।
এটা চক্ৰত গড় হিচাপে 2.05টা বাজী লাগে, গতিকে 784টা চক্ৰত প্ৰায় 1,600টা বাজী লাগে। স্পিনে স্পিনে গণনা কৰিলে, 200টা বাজীৰ কোনোবা ঠাইত দহটা হাৰৰ ধাৰা 11.3% সময়ত ওলায়।
দুৰ্যোগৰ মাজত খেলুৱৈজনে প্ৰতি চক্ৰত $1 জিকে: বেয়াটোৰ আগতে প্ৰায় $783, তাৰ পিছত −$1,023, গোটেই সময়ছোৱাত প্ৰায় −$240। প্ৰতি চক্ৰত: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31। প্ৰতি চক্ৰত বাজী ধৰা ধন: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31। আৰু −0.31/11.31 = −2.70%।
$500 সীমাত $10ৰ প্ৰথম বাজীৰ সৈতে তুলনা কৰক, ছটা বাজী: 55টা চক্ৰত এবাৰ বেৰত খুন্দা খায়, আৰু 200টা বাজীৰ এটা সন্ধিয়াই 84% সময়ত তাক লগ পায়। উচ্চ সীমাই দুৰ্ঘটনাক বিৰল আৰু ডাঙৰ কৰে, সস্তা নকৰে।
অলপ হাঁহি
প্ৰতিটো সীমাতে বিৰল আৰু ডাঙৰ। পূৰণফল স্থিৰ।
উৎস
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.